Exercises Week01 Solutions

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.13%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22ipython%3D%3D9.16.1%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3D%3D2.5.2%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22pandas%3D%3D3.0.5%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22plotly%3D%3D6.9.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22scipy%3D%3D1.18.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22statsmodels%3D%3D0.14.6%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.24.0%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.Html(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cstyle%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Aroot%20%7B%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20--content-width%3A%20%7B1000%7Dpx%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20--content-width-medium%3A%20%7B1000%7Dpx%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fstyle%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.image(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20src%3D%22http%3A%2F%2Fmodernmacro.org%2Fresources%2FVivaldo%2Ffigures%2Fiscte.png%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D220%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22end%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Week%201%20-%20Introduction%20to%20Macroeconomics%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20**Exercises%20with%20solutions**%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%3Cp%20style%3D%22font-size%3A%2019px%3B%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Macroeconomics%20(L0236%2FL0271)%20%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Vivaldo%20Mendes%2C%20Ricardo%20Gouveia-Mendes%2C%20Lu%C3%ADs%20Clemente-Casinhas%20%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20September%202026%0A%20%20%20%20%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20**Packages%20used%20in%20this%20notebook**%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20pandas%20as%20pd%0A%20%20%20%20from%20numpy%20import%20linalg%0A%20%20%20%20from%20scipy.optimize%20import%20fsolve%0A%20%20%20%20from%20IPython.display%20import%20display%0A%20%20%20%20from%20scipy.sparse%20import%20diags%0A%20%20%20%20from%20scipy.sparse.linalg%20import%20spsolve%0A%20%20%20%20import%20plotly.express%20as%20px%0A%20%20%20%20import%20plotly.graph_objects%20as%20go%0A%20%20%20%20import%20plotly.io%20as%20pio%0A%20%20%20%20from%20plotly.subplots%20import%20make_subplots%0A%20%20%20%20pio.templates.default%20%3D%20%22plotly%22%0A%20%20%20%20import%20statsmodels.api%20as%20sm%0A%20%20%20%20mo.show_code()%0A%20%20%20%20return%20diags%2C%20fsolve%2C%20linalg%2C%20mo%2C%20np%2C%20pd%2C%20px%2C%20sm%2C%20spsolve%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20%23import%20os%0A%20%20%20%20%23os.chdir(os.path.dirname(__file__))%0A%20%20%20%20%23os.getcwd()%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%201.%20Endogenous%20vs%20Exogenous%20Variables%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Consider%20the%20production%20of%20corn%20on%20an%20isolated%20island%20in%20a%20given%20year.%20The%20population%20has%201%20ton%20of%20corn%20seeds%20left%20from%20the%20previous%20harvest%20to%20be%20sowed%20this%20year.%20There%20is%20a%20water%20reservoir%20with%20100%20million%20liters%20of%20water%20available%2C%20but%20using%20this%20water%20for%20irrigation%20requires%20labor%20effort.%20Considering%20the%20available%20amount%20of%20seeds%2C%20the%20water%20in%20the%20reservoir%2C%20the%20labor%20effort%2C%20and%20the%20amount%20of%20corn%20produced%3A%0A%0A%20%20%20%20%F0%9F%91%89%20a)%20Which%20ones%20would%20you%20consider%20to%20be%20the%20exogenous%20variables%3F%0A%0A%20%20%20%20%F0%9F%91%89%20b)%20Which%20ones%20would%20be%20the%20endogenous%20variables%3F%0A%0A%20%20%20%20%F0%9F%91%89%20c)%20Can%20you%20conceive%20other%20exogenous%20that%20may%20be%20variables%20associated%20with%20this%20activity%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20**Answer%20(a)**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20answer%0A%0A%20%20%20%20The%20exogenous%20variables%20are%20(i)%20the%20amount%20of%20available%20seeds%20and%20(ii)%20the%20amount%20of%20water%20available%20in%20the%20reservoir.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20**Answer%20(b)**%0A%0A%20%20%20%20The%20endogenous%20variables%20are%20(i)%20the%20amount%20of%20corn%20produced%20and%20(ii)%20the%20labor%20effort%20allocated%20to%20the%20irrigation%20process.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20**Answer%20(c)**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20answer%0A%20%20%20%20Three%20other%20exogenous%20variables%20that%20will%20certainly%20affect%20the%20two%20endogenous%20variables%20are%20(i)%20the%20quantity%20of%20rain%20that%20will%20fall%2C%20(ii)%20the%20quality%20of%20the%20soil%2C%20and%20(iii)%20the%20occurrence%20of%20plagues.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%202.%20Endogenous%20vs%20Exogenous%20Variables%20(II)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20_Adapted%20(with%20changes)%20from%20the%20textbook_%0A%0A%20%20%20%20Sciences%20other%20than%20economics%20also%20use%20models%20to%20explain%20the%20behavior%20of%20endogenous%20variables%20based%20on%20assumptions%20about%20the%20environment%20and%20changes%20in%20exogenous%20variables.%20Suppose%20you%20have%20to%20design%20a%20model%20to%20explain%20childhood%20obesity%20and%20its%20links%20to%20diabetes%20and%20some%20other%20factors%2C%20like%20genetic%20conditions%2C%20food%20habits%2C%20and%20sedentarism.%0A%0A%20%20%20%20%F0%9F%91%89%20**a)**%20Which%20ones%20would%20you%20consider%20to%20be%20the%20endogenous%20variables%3F%0A%0A%20%20%20%20%F0%9F%91%89%20**b)**%20Which%20ones%20would%20be%20the%20exogenous%20variables%3F%0A%0A%20%20%20%20%F0%9F%91%89%20**c)**%20Can%20you%20think%20of%20other%20exogenous%20variables%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20**Answer%20(a)**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20answer%0A%0A%20%20%20%20Apparently%2C%20we%20would%20be%20inclined%20to%20think%20that%2C%20in%20this%20case%2C%20obesity%20would%20be%20the%20exogenous%20variable%20and%20diabetes%20the%20endogenous%20one.%20However%2C%20carefully%20considering%20these%20two%20variables%20will%20tell%20us%20a%20different%20story.%0A%0A%20%20%20%20Note%20that%20not%20all%20obese%20children%20have%20diabetes%2C%20and%20not%20all%20children%20that%20have%20diabetes%20are%20obese%2C%20so%20obesity%20can%20not%20be%20an%20exogenous%20variable%20_de%20per%20se_.%20Therefore%2C%20diabetes%20and%20childhood%20obesity%20are%20both%20endogenous%20variables.%20Both%20are%20the%20result%20of%20something%20else.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20**Answer%20(b)**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20answer%0A%0A%20%20%20%20Exogenous%20variables%20that%20explain%20both%20childhood%20obesity%20and%20diabetes%20are%20food%20habits%2C%20genetic%20conditions%2C%20and%20sedentarism.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20**Answer%20(c)**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20answer%0A%0A%20%20%20%20Other%20exogenous%20variables%20that%20explain%20both%20childhood%20obesity%20and%20diabetes%20are%20e.g.%20education%2C%20income%20level%2C%20advertising%2C%20and%20geographic%20locations.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%203.%20Solving%20a%20Macroeconomic%20Model%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Slide%206%20(week%201)%20displays%20a%20graphical%20representation%20of%20an%20artificial%20macroeconomic%20model%20(its%20figure%20can%20be%20found%20below).%20In%20this%20model%2C%20we%20know%20the%20impact%20each%20variable%20will%20have%20on%20the%20other%20variables%20(given%20by%20the%20number%20attached%20to%20each%20arrow)%20and%20we%20also%20know%20that%20%24X_1%20%3D%2010%2C%20X_2%20%3D%205%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.Html(%22%22%22%0A%20%20%20%20%3Cdiv%20style%3D%22display%3A%20flex%3B%20justify-content%3A%20left%3B%20align-items%3A%20left%3B%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cimg%0A%20%20%20%20%09%09src%3D%22http%3A%2F%2Fmodernmacro.org%2Fresources%2FVivaldo%2Ffigures%2Fmodel.png%22%0A%20%20%20%20%09alt%3D%22Centered%20Image%22%20style%3D%22max-width%3A%2045%25%3B%20height%3A%20auto%3B%22%3E%0A%20%20%20%20%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%F0%9F%91%89%20a)%20Which%20ones%20are%20the%20exogenous%20variables%3F%20And%20Why%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20**Answer%20(a)**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20answer%0A%20%20%20%20Exogenous%20variables%20are%3A%20%24X_1%2CX_2%24%20because%20we%20know%20their%20values%20_a%20priori_%20%3A%20%24X_1%3D10%2C%20X_2%3D5%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%F0%9F%91%89%20b)%20Which%20ones%20are%20the%20endogenous%20variables%3F%20And%20Why%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20**Answer%20(b)**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20answer%0A%20%20%20%20Endogenous%20variables%20are%20%24Q_a%2CQ_b%2CQ_c%2CQ_d%24.%20They%20are%20the%20unknowns%20in%20the%20model.%20They%20are%20determined%20by%20the%20exogenous%20variables%20and%20by%20the%20structure%20of%20the%20model%20(explained%20in%20(d))%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%F0%9F%91%89%20c)%20How%20many%20parameters%20do%20we%20have%20in%20this%20model%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20**Answer%20(c)**%0A%0A%20%20%20%20Parameters%20are%208%20altogether%3A%20%242%2C8%2C%205%2C%200.5%2C%200.1%2C%20...%24.%20They%20show%20the%20impact%20of%20one%20variable%20upon%20another%20variable%20(given%20by%20each%20arrow%20in%20the%20figure%20above).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%F0%9F%91%89%20d)%20What%20is%20the%20structure%20of%20the%20model%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20**Answer%20(d)**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20answer%0A%20%20%20%20The%20model's%20structure%20transforms%20inputs%20into%20outputs%20and%20is%20given%20by%20the%20set%20of%20parameters.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%F0%9F%91%89%20e)%20Solve%20numerically%20the%20model%20represented%20in%20the%20figure%20above.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20**Answer%20(e)**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20answer%0A%20%20%20%20We%20can%20solve%20this%20model%20using%20traditional%20linear%20algebra%20or%20the%20Python%20library%20%3Ckbd%3Escipy%3C%2Fkbd%3E%20(specifically%20its%20%60scipy.optimize%60%20toolbox).%20The%20linear%20algebra%20solution%20can%20be%20found%20in%20Exercise%2012.%20We%20recommend%20using%20%60scipy.optimize%60%20because%20it%20is%20simple%20and%20more%20intuitive.%20As%20we%20will%20see%2C%20the%20syntax%20makes%20the%20original%20mathematical%20model%20and%20its%20computational%20counterpart%20identical.%0A%0A%20%20%20%20In%20the%20following%20two%20cells%2C%20we%20first%20insert%20the%20values%20of%20the%20two%20exogenous%20variables%20in%20our%20model%20(X1%20%3D%2010%2C%20X2%20%3D%205)%20and%20then%20use%20the%20%3Ckbd%3Efsolve%3C%2Fkbd%3E%20function%20from%20%60scipy.optimize%60%20to%20solve%20this%20particular%20problem.%20Details%20on%20using%20the%20%60fsolve%60%20function%20can%20be%20found%20in%20a%20note%20after%20this%20solution.%0A%0A%20%20%20%20By%20looking%20at%20the%20bottom%20of%20the%20second%20%20cell%20below%2C%20we%20can%20conclude%20that%20the%20solution%20to%20our%20current%20problem%20is%20the%20following%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24Q_a%20%5Capprox%20-17.197%20%5C%20%2C%20%5C%20Q_b%20%5Capprox%205.605%20%5C%20%2C%20%5C%20Q_c%20%5Capprox%2038.216%20%5C%20%2C%20%5C%20Q_d%20%5Capprox%2019.108%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20X1%20%3D%2010.0%3B%20X2%20%3D%205.0%3B%0A%20%20%20%20z%20%3D%20%5BX1%2C%20X2%5D%0A%20%20%20%20mo.show_code()%0A%20%20%20%20return%20(z%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(fsolve%2C%20mo%2C%20z)%3A%0A%20%20%20%20def%20zazu(v%2C%20z)%3A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Qa%2C%20Qb%2C%20Qc%2C%20Qd%20%3D%20v%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X1%2C%20X2%20%3D%20z%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20F1%20%3D%202*Qa%20%2B%208*X2%20-%20Qb%0A%20%20%20%20%20%20%20%20F2%20%3D%200.1*Qd%20-%200.5*Qc%20-%20Qa%0A%20%20%20%20%20%20%20%20F3%20%3D%200.5*Qc%20-%20Qd%0A%20%20%20%20%20%20%20%20F4%20%3D%201.5*Qa%20%2B%202.5*Qb%20%2B%205*X1%20-%20Qc%20%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%5BF1%2C%20F2%2C%20F3%2C%20F4%5D%0A%0A%20%20%20%20solut_zazu%20%3D%20fsolve(%20zazu%2C%20%5B1.0%2C%201.0%2C%201.0%2C%201.0%5D%20%2C%20args%3D(z)%20)%0A%0A%20%20%20%20print(solut_zazu)%0A%0A%20%20%20%20mo.show_code(solut_zazu)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20tip%20%7C%20How%20to%20use%20%60fsolve%60%20from%20%60scipy.optimize%60%0A%0A%20%20%20%20The%20model%20in%20the%20figure%20that%20opens%20this%20exercise%20can%20be%20written%20down%20as%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20Q_%20b%20%26%3D2%20Q_%7Ba%7D%2B8%20X_%7B2%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20Q_%7Ba%7D%20%26%3D0.1%20Q_%7Bd%7D-0.5%20Q_%7Bc%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20Q_%7Bd%7D%20%26%3D0.5%20Q_%7Bc%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20Q_%7Bc%7D%20%26%3D1.5%20Q_%7Ba%7D%2B2.5%20Q_%7Bb%7D%2B5%20X_%7B1%7D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20To%20use%20the%20Python%20library%20%60scipy%60%20(or%20rather%20its%20%60scipy.optimize%60%20toolbox)%2C%20we%20need%20to%20rewrite%20the%20model%20as%20a%20homogeneous%20system%2C%20which%20in%20this%20case%20looks%20like%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%260%20%3D%202%20Q_a%2B8%20X_2%20-%20Q_b%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%260%20%3D%200.1%20Q_%7Bd%7D%20-0.5%20Q_%7Bc%7D-Q_%7Ba%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%260%20%3D%200.5%20Q_c%20-Q_d%5C%5C%0A%20%20%20%20%260%20%3D%201.5%20Q_a%2B2.5%20Q_b%2B5%20X_1%20-Q_c%0A%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Then%20we%20have%20to%20write%20down%20our%20problem%20according%20to%20the%20syntax%20of%20%60scipy.optimize%60%20(**see%20the%20image%20below%20for%20a%20graphical%20detailed%20description**)%0A%20%20%20%20-%20The%20keyword%20%3Ckbd%3Edef%3C%2Fkbd%3E%20tells%20the%20computer%20that%20you%20are%20going%20to%20define%20your%20problem%20with%20a%20set%20of%20elements%20that%20will%20come%20next%0A%20%20%20%20-%20Give%20a%20name%20to%20your%20problem%3A%20let%20us%20name%20it%20as%20%3Ckbd%3Ezazu%3C%2Fkbd%3E%0A%20%20%20%20-%20Define%20the%20variables%20in%20our%20problem%3A%20%3Ckbd%3Ezazu(v%2Cz)%3C%2Fkbd%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%20%3Ckbd%3Ev%3C%2Fkbd%3E%20represents%20the%20set%20of%20**endogenous**%20variables%20(the%20letter%20used%20here%20%60v%60%20is%20arbitrary)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%20%3Ckbd%3Ez%3C%2Fkbd%3E%20represents%20the%20set%20of%20**exogenous**%20variables%20(the%20letter%20%60z%60%20used%20here%20is%20arbitrary)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%20%3Ckbd%3EQa%2C%20Qb%2C%20Qc%2C%20Qd%20%3D%20v%3C%2Fkbd%3E%20is%20the%20(unpacked)%20set%20of%20endogenous%20variables%20in%20the%20current%20problem%20(the%20order%20is%20arbitrary)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%20%20%3Ckbd%3EX1%2C%20X2%20%3D%20z%3C%2Fkbd%3E%20is%20the%20(unpacked)%20set%20of%20exogenous%20variables%20in%20the%20current%20problem%20(the%20order%20is%20arbitrary)%0A%0A%20%20%20%20-%20Define%20the%20equations%20in%20your%20problem%20and%20write%20them%20using%20the%20homogeneous%20form%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%26%20F1%20%3D%202%20Q_a%20%2B%208%20X_2-Q_b%20%5C%20%2C%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%20F2%20%3D%200.1%20Q_d%20-%200.5%20Q_c%20-%20Q_a%20%5C%20%2C%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%20F3%20%3D%200.5%20Q_c-%20Q_d%20%5C%20%2C%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%20F4%20%3D%201.5%20Q_a%2B2.5%20Q_b%20%2B%205%20X_1-%20Q_c%20%5C%0A%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Finally%2C%20we%20should%20compute%20the%20numerical%20solution%20to%20our%20problem%20according%20to%20the%20syntax%20of%20%60scipy.optimize%60%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20Give%20a%20name%20to%20the%20solution%20to%20our%20problem%3A%20let%20us%20name%20it%20as%20%3Ckbd%3Esolut_zazu%3C%2Fkbd%3E%0A%20%20%20%20-%20Use%20the%20%3Ckbd%3Efsolve%3C%2Fkbd%3E%20function%20from%20%60scipy.optimize%60%20that%20will%20solve%20the%20problem%20(the%20name%20of%20this%20function%20can%20not%20be%20changed!)%0A%20%20%20%20-%20Tell%20the%20name%20of%20the%20problem%20you%20want%20to%20solve%20(in%20the%20current%20case%2C%20it%20is%20%60zazu%60)%2C%0A%20%20%20%20-%20Give%20four%20initial%20guesses%20for%20the%20library%20to%20start%20the%20computation%3A%20in%20linear%20problems%20%3Ckbd%3E%5B1.0%20%2C%201.0%20%2C%201.0%20%2C%201.0%5D%3C%2Fkbd%3E%20always%20works.%20The%20number%20of%20initial%20guesses%20must%20equal%20the%20number%20of%20unknowns%20in%20the%20problem.%0A%20%20%20%20-%20Tell%20the%20library%20what%20exogenous%20variables%20you%20want%20to%20consider%20in%20the%20solution%3A%20it%20is%20%3Ckbd%3Eargs%3D(z)%3C%2Fkbd%3E%20in%20our%20current%20case%0A%20%20%20%20-%20Print%20the%20numerical%20solution%0A%20%20%20%20-%20The%20order%20of%20the%20output%20is%20the%20same%20as%20the%20order%20of%20the%20endogenous%20variables%20defined%20in%20our%20problem.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%3Cdiv%20style%3D%22display%3A%20flex%3B%20justify-content%3A%20left%3B%20align-items%3A%20left%3B%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cimg%0A%20%20%20%20%09%09src%3D%22http%3A%2F%2Fmodernmacro.org%2Fresources%2FVivaldo%2Ffigures%2Ffsolve_image.svg%22%0A%20%20%20%20%09alt%3D%22Centered%20Image%22%20style%3D%22width%3A%2080%25%3B%20height%3A%20auto%3B%22%3E%0A%20%20%20%20%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%204.%20Plotting%20GDP%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Using%20data%20from%20the%20CONFERENCE%20BOARD%2C%20%5B%22The%20%20Total%20Economy%20Database%22%5D(https%3A%2F%2Fwww.conference-board.org%2Fdata%2Feconomydatabase%2Ftotal-economy-database-productivity)%2C%20we%20plot%20the%20levels%20of%20Real%20GDP%20for%20Portugal%20and%20France.%0A%0A%20%20%20%20%F0%9F%91%89%20Can%20we%20get%20much%20information%20about%20these%20plots%20regarding%20the%20performance%20of%20the%20two%20economies%3F%20Which%20country%20performed%20better%3F%20Which%20one%20showed%20more%20volatility%20in%20GDP%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(preview%2C%20read_csv)%3A%0A%20%20%20%20oecd2%20%3D%20read_csv(%22OECD_MajorAggreg.csv%22)%0A%20%20%20%20preview(oecd2)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(preview%2C%20read_csv)%3A%0A%20%20%20%20oecd%20%3D%20read_csv(%22OECD_MajorAggreg.csv%22)%0A%20%20%20%20preview(oecd)%0A%20%20%20%20return%20(oecd%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(oecd%2C%20px)%3A%0A%20%20%20%20fig1%20%3D%20px.line(oecd%2C%20x%3D%22Years%22%2C%20y%3D%22PRT%22)%0A%20%20%20%20fig1.update_traces(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line_width%20%3D%202.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hovertemplate%3DNone%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fig1.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%20%3D%20500%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hovermode%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22Years%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22Millions%20of%202020%20international%20dollars%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D'Real%20GDP%3A%20Portugal%20(1950-2021)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title_x%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20margin%3Ddict(l%3D60%2C%20r%3D60%2C%20t%3D60%2C%20b%3D60)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fig1%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(oecd%2C%20px)%3A%0A%20%20%20%20fig2%20%3D%20px.line(oecd%2C%20x%3D%22Years%22%2C%20y%3D%22FRA%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fig2.update_traces(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23mode%3D%22markers%2Blines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hovertemplate%3DNone%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line_color%20%3D%20%22%23644739%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line_width%20%3D%202.5%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20fig2.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%20%3D%20500%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hovermode%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22Date%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22Millions%20of%202020%20international%20dollars%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D'Real%20GDP%3A%20France%20(1950-2021)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title_x%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20margin%3Ddict(l%3D60%2C%20r%3D60%2C%20t%3D60%2C%20b%3D60)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fig2%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20**Answer**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20answer%0A%20%20%20%20Simple%20plots%20like%20these%20do%20not%20provide%20much%20relevant%20information%20about%20each%20economy's%20performance.%20We%20need%20a%20more%20refined%20analysis%2C%20like%20growth%20rates%2C%20the%20amplitude%20of%20business%20cycles%2C%20the%20persistence%20of%20business%20cycles%2C%20and%20cross-correlation%20indicators.%0A%0A%20%20%20%20Students%20usually%20portray%20plots%20like%20these%20to%20provide%20relevant%20information%20about%20one%20country%20(or%20one%20variable)%2C%20hoping%20their%20actions%20are%20helpful.%20In%20most%20cases%2C%20plotting%20the%20original%20time%20series%20of%20any%20major%20macroeconomic%20variable%20that%20displays%20a%20trend%20like%20these%20two%20here%20is%20of%20little%20interest%20in%20itself.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%205.%20Business%20Cycles%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20In%20the%20various%20plots%20below%2C%20we%20present%20the%20following%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20The%20evolution%20of%20Real%20GDP%20and%20Real%20Potential%20GDP%20for%20Portugal%20and%20France%3B%0A%0A%20%20%20%202.%20The%20business%20cycles%20as%20the%20percentage%20deviation%20of%20Real%20GDP%20from%20Potential%20GDP%20for%20Portugal%2C%20France%2C%20and%20the%20UK.%0A%0A%20%20%20%203.%20The%20coss-correlation%20of%20business%20cycles%20in%20Europe.%0A%0A%20%20%20%20Based%20on%20the%20information%20provided%20by%20these%20plots%2C%20answer%20the%20following%20questions.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%F0%9F%91%89%20%20**a)**%20By%20looking%20at%20the%20evolution%20of%20Real%20GDP%20and%20Potential%20GDP%2C%20can%20you%20spot%20one%20period%20where%20each%20economy%20was%20in%20a%20recession%3F%20And%20in%20an%20economic%20boom%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(hp_trend_df%2C%20log_mydata%2C%20oecd%2C%20px)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20the%20two%20time%20series%0A%20%20%20%20fig5%20%3D%20px.line(x%3Doecd.Years%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5Blog_mydata.PRT%20%2C%20hp_trend_df.PRT%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color_discrete_sequence%3D%5B%22blue%22%20%2C%20%22red%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20To%20increase%20readability%0A%20%20%20%20fig5.update_traces(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hovertemplate%3DNone%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20the%20layout%0A%20%20%20%20fig5.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%20%3D%20500%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hovermode%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22Date%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22Log%20of%20Real%20GDP%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D'Business%20Cycles%20in%20Portugal%20(1950-2021)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title_x%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20margin%3Ddict(l%3D60%2C%20r%3D60%2C%20t%3D60%2C%20b%3D60)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20legend_title%3DNone%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Change%20the%20variable%20names%0A%20%20%20%20fig5.update_traces(%7B'name'%3A%20'GDP'%7D%2C%20selector%3D%7B'name'%3A%20'wide_variable_0'%7D)%0A%20%20%20%20fig5.update_traces(%7B'name'%3A%20'HP-GDP'%7D%2C%20selector%3D%7B'name'%3A%20'wide_variable_1'%7D)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Show%20the%20plot%0A%20%20%20%20fig5%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(hp_trend_df%2C%20log_mydata%2C%20oecd%2C%20px)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20the%20two%20time%20series%0A%20%20%20%20fig6%20%3D%20px.line(x%3Doecd.Years%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5Blog_mydata.FRA%20%2C%20hp_trend_df.FRA%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color_discrete_sequence%3D%5B%22blue%22%20%2C%20%22red%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20To%20increase%20readability%0A%20%20%20%20fig6.update_traces(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hovertemplate%3DNone%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20the%20layout%0A%20%20%20%20fig6.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%20%3D%20500%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hovermode%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22Years%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22Log%20of%20Real%20GDP%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D'Business%20Cycles%20in%20France%20(1950-2021)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title_x%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20margin%3Ddict(l%3D60%2C%20r%3D60%2C%20t%3D60%2C%20b%3D60)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20legend_title%3DNone%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%23%20Change%20the%20variable%20names%0A%20%20%20%20fig6.update_traces(%7B'name'%3A%20'GDP'%7D%2C%20selector%3D%7B'name'%3A%20'wide_variable_0'%7D)%0A%20%20%20%20fig6.update_traces(%7B'name'%3A%20'HP-GDP'%7D%2C%20selector%3D%7B'name'%3A%20'wide_variable_1'%7D)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Show%20the%20plot%0A%20%20%20%20fig6%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20**Answer%20(a)**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20answer%0A%20%20%20%20An%20economic%20boom%20occurs%20when%20Real%20GDP%20is%20much%20higher%20than%20Potential%20GDP%2C%20and%20a%20recession%20occurs%20when%20the%20opposite%20occurs.%0A%0A%20%20%20%20Therefore%2C%20by%20zooming%20in%20on%20the%20plots%20above%2C%20it%20is%20not%20difficult%20to%20see%20that%20the%20Portuguese%20economy%20was%20in%20a%20boom%20in%201973%20while%20it%20was%20under%20a%20recession%20in%201975.%0A%0A%20%20%20%20For%20France%2C%20if%20we%20zoom%20in%20on%20the%20plot%2C%20we%20can%20easily%20spot%20that%20the%20same%20type%20of%20cycles%20happened%20in%20the%20same%20periods.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%F0%9F%91%89%20**b)**%20The%20following%20plot%20displays%20the%20business%20cycles%20in%20Portugal%2C%20France%2C%20and%20the%20UK.%20What%20main%20points%20can%20we%20observe%20by%20inspecting%20this%20figure%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(cycles_df%2C%20oecd%2C%20px)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20the%20three%20time%20series%0A%20%20%20%20fig4%20%3D%20px.line(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Doecd.Years%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5Bcycles_df.PRT%20%2C%20cycles_df.FRA%20%2C%20cycles_df.GBR%5D%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20fig4.update_traces(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%2Bmarkers%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hovertemplate%3DNone%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line_width%20%3D%200.4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20marker_size%20%3D%207%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20fig4.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%20%3D%20500%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hovermode%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22Years%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22%25%20deviations%20from%20Potential%20GDP%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Business%20cycles%3A%20Portugal%2C%20France%2C%20and%20UK%20(1950-2021)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title_x%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20margin%3Ddict(l%3D60%2C%20r%3D60%2C%20t%3D60%2C%20b%3D60)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_range%20%3D%20%5B1949%2C%202022%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20legend_title%3DNone%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20fig4.update_traces(%7B'name'%3A%20'PRT'%7D%2C%20line_color%3D'Blue'%2C%20marker_symbol%3D%22star%22%2C%20selector%3Ddict(name%3D'wide_variable_0'))%20%20%23%20PRT%0A%20%20%20%20fig4.update_traces(%7B'name'%3A%20'FRA'%7D%2Cline_color%3D'maroon'%2C%20marker_symbol%3D%22circle%22%2C%20selector%3Ddict(name%3D'wide_variable_1'))%20%20%23%20FRA%0A%20%20%20%20fig4.update_traces(%7B'name'%3A%20'UK'%7D%2Cline_color%3D'DarkBlue'%2C%20marker_symbol%3D%22circle%22%2C%20selector%3Ddict(name%3D'wide_variable_2'))%20%20%23%20UK%0A%0A%20%20%20%20%23%20Show%20the%20plot%0A%20%20%20%20fig4%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20**Answer%20(b)**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20answer%0A%20%20%20%20There%20are%20four%20main%20points%20we%20can%20observe%20in%20the%20plot%20above%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20The%20cycles%20of%20those%20three%20economies%20tend%20to%20**move%20together**%20over%20time.%0A%0A%20%20%20%202.%20The%20amplitude%20or%20**volatility**%20of%20the%20cycles%20(distance%20from%20top%20to%20bottom)%20seems%20to%20be%20relatively%20similar%20over%20time%2C%20with%20two%20exceptions%3A%202019%2F20%20(Covid)%20and%201974%2F75%20(oil%20crisis).%0A%0A%20%20%20%203.%20The%20**persistence**%20of%20the%20cycles%20(for%20how%20long%20they%20take%20place)%20seems%20similar%20across%20these%20economies.%0A%0A%20%20%20%204.%20Cycles%20are%20**recurrent**%20phenomena.%20It%20suggests%20that%20shocks%20hit%20these%20economies%20regularly%2C%20and%20sometimes%20those%20shocks%20seem%20very%20large%20(like%20in%201974%2F75%20and%202019%2F20).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%F0%9F%91%89%20**c)**%20By%20looking%20at%20the%20correlation%20matrix%20of%20the%20business%20cycles%20in%20the%20OECD%2C%20which%20is%20presented%20below%2C%20mention%20three%20highly%20positively%20correlated%20countries%20and%20three%20with%20cycles%20that%20display%20low%20or%20no%20correlation%20at%20all.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20tip%20%7C%20**Correlation%20matrix**%0A%0A%20%20%20%20A%20correlation%20matrix%20plots%20the%20cross-correlation%20coefficients%20between%20a%20set%20of%20variables.%20In%20our%20case%20here%2C%20the%20variables%20are%20the%20business%20cycles%20of%20a%20set%20of%20countries%20(JPN%20for%20Japan%2C%20KOR%20for%20Korea%2C%20PRT%20for%20Portugal%2C%20and%20so%20on).%0A%0A%20%20%20%20The%20cross-correlation%20coefficient%20is%20a%20statistical%20measure%20of%20the%20similarity%20of%20two%20series%20over%20time.%20It%20assumes%20values%20between%20%24-1%24%20and%20%241%24.%0A%0A%20%20%20%20**Example**.%20The%20cross-correlation%20between%20Portugal%20and%20France%20is%20equal%20to%20%24%2B0.6879.%24%20Put%20the%20mouse%20on%20top%20of%20the%20cell%20common%20to%20Portugal%20and%20France%2C%20and%20you%20will%20get%20this%20value.%20This%20value%20means%20that%20if%20France%20is%20going%20into%20an%20economic%20boom%2Frecession%2C%20there%20is%20a%20likelihood%20of%2068.79%25%20that%20Portugal%20will%20follow%20France.%0A%0A%20%20%20%20A%20column%20with%20many%20red%20entries%20means%20the%20business%20cycles%20in%20this%20country%20are%20highly%20correlated%20with%20those%20in%20other%20countries.%20On%20the%20other%20hand%2C%20the%20more%20blue%20the%20cells%20become%2C%20the%20lower%20the%20cross-correlation%20will%20be.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(cycles_df%2C%20px)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Step%201%3A%20Compute%20the%20Cross-Correlation%20Matrix%0A%20%20%20%20cross_corr_matrix%20%3D%20cycles_df.corr()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Step%202%3A%20Plot%20the%20Heatmap%20of%20the%20Cross-Correlation%20Matrix%20Using%20Plotly%0A%20%20%20%20fig7%20%3D%20px.imshow(cross_corr_matrix%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20labels%3Ddict(x%3D%22Columns%22%2C%20y%3D%22Columns%22%2C%20color%3D%22Cross-Correlation%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dcross_corr_matrix.columns%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dcross_corr_matrix.columns%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color_continuous_scale%3D'Balance'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zmin%3D-0.23%20%2C%20zmax%3D1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Update%20layout%20for%20better%20readability%0A%20%20%20%20fig7.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Cross-Correlation%20Heatmap%3A%20business%20cycles%20in%20the%20OECD%20(1950-2021)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20autosize%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D650%2C%20height%3D650%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3DNone%20%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3DNone%20%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20margin%3Ddict(l%3D60%2C%20r%3D60%2C%20t%3D60%2C%20b%3D60)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20legend_title%3DNone%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(autorange%3D'reversed')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20coloraxis_colorbar_title_text%20%3D%20''%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%23%20Show%20the%20plot%0A%20%20%20%20fig7%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20**Answer%20(c)**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20answer%0A%20%20%20%20New%20Zealand%2C%20Korea%2C%20and%20Taiwan%20have%20the%20lowest%20cross-correlation%20of%20their%20cycles%20with%20the%20rest%20of%20this%20group.%20In%20Europe%2C%20Norway%2C%20Spain%2C%20and%20Greece%20also%20have%20low%20cross-correlation.%0A%0A%20%20%20%20In%20the%20case%20of%20the%20European%20zone%20(located%20on%20the%20right%20low%20corner%20of%20the%20heatmap)%2C%20for%20example%2C%20Belgium%2C%20France%2C%20and%20the%20UK%20(GBR)%20have%20cycles%20displaying%20the%20highest%20cross-correlation%20with%20the%20other%20countries%20in%20this%20zone.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20**Answer%20(d)**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20answer%0A%20%20%20%20New%20Zealand%2C%20Korea%2C%20and%20Taiwan%20have%20the%20lowest%20cross-correlation%20of%20their%20cycles%20with%20the%20rest%20of%20this%20group.%20In%20Europe%2C%20Norway%2C%20Spain%2C%20and%20Greece%20also%20have%20low%20cross-correlation.%0A%0A%20%20%20%20Belgium%2C%20France%2C%20and%20the%20UK%20(GBR)%20have%20cycles%20displaying%20high%20cross-correlation%20with%20the%20European%20group.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%206.%20The%20Impact%20of%20Business%20Cycles%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20In%202007%2C%20the%20world%20economy%20was%20struck%20by%20a%20financial%20crisis%20of%20enormous%20proportions.%20This%20crisis%20affected%20some%20countries%20more%20than%20others%20in%20the%20European%20Union%20and%20affected%20more%20some%20zones%20of%20the%20world%20economy%20than%20others.%20Let%20us%20see%20what%20has%20happened%20to%2023%20economies%20since%202007.%20For%20that%20purpose%2C%20we%20should%20normalize%20Real%20GDP%20levels%20for%20all%2023%20economies%3A%20Real%20GDP%20is%20set%20to%20100%20in%202007.%0A%0A%20%20%20%20We%20apply%20such%20procedure%20to%20three%20groups%20of%20countries%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20The%20EuroZone%20periphery%20countries%0A%20%20%20%20-%20The%20EuroZone%20core%20countries%20%2B%20US%2C%20Canada%2C%20Switzerland%20and%20Japan%0A%20%20%20%20-%20South%20Eastern%20Asian%20countries%20%2B%20%20Australia%20and%20New%20Zealand%0A%0A%20%20%20%20After%20looking%20at%20the%20three%20plots%20that%20you%20will%20find%20in%20this%20exercise%2C%20rank%20the%20three%20groups%20of%20countries%20according%20to%20their%20macroeconomic%20performance%20after%20the%20impact%20of%20the%20financial%20crisis.%20What%20is%20your%20opinion%20about%20what%20is%20happening%20in%20the%20case%20of%20Greece%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20hint%0A%0A%20%20%20%20Look%20at%20how%20many%20years%20it%20took%20the%20various%20countries%20to%20get%20back%20to%20the%20level%20of%20real%20GDP%20they%20had%20when%20the%20crisis%20hit%20them%20(2007).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(preview%2C%20read_csv)%3A%0A%20%20%20%20TED2007%20%3D%20read_csv(%22TEDdata-2007-2021.csv%22)%0A%20%20%20%20preview(TED2007)%0A%20%20%20%20return%20(TED2007%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(TED2007)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Normalize%20the%20data%20such%20that%20all%20entries%20equal%20100%20in%20the%20year%202007%0A%20%20%20%20base_year%20%3D%202007%0A%20%20%20%20TED2007.set_index('YEARS'%2C%20inplace%3DTrue)%0A%20%20%20%20TED2007_normalized%20%3D%20TED2007.apply(lambda%20x%3A%20(x%20%2F%20x.loc%5Bbase_year%5D)%20*%20100)%0A%20%20%20%20return%20(TED2007_normalized%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(TED2007_normalized%2C%20px)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Select%20a%20subset%20of%20countries%20for%20plotting%0A%20%20%20%20countries1%20%3D%20%5B'FIN'%2C%20'GRC'%2C%20'IRL'%2C%20'ITA'%20%2C%20'PRT'%20%2C%20'ESP'%5D%0A%20%20%20%20TED2007_subsample1%20%3D%20TED2007_normalized%5Bcountries1%5D%0A%20%20%20%20TED2007_subsample1.reset_index(inplace%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plotting%20the%20data%20using%20Plotly%0A%20%20%20%20fig9%20%3D%20px.line(TED2007_subsample1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D'YEARS'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dcountries1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D'The%20impact%20of%20the%20financial%20crisis%20in%20the%20EZ%20Periphery%20(Real%20GDP)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color_discrete_sequence%3Dpx.colors.qualitative.Alphabet%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20fig9.update_traces(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%2Bmarkers%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hovertemplate%3DNone%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line_width%20%3D%200.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20marker_size%20%3D%208%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fig9.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%20%3D%20500%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hovermode%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D'Year'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D'GDP%20index%20(100%3D2007)'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20legend_title%3DNone%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_range%3D%5B2006.75%2C2021.25%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20margin%3Ddict(l%3D60%2C%20r%3D60%2C%20t%3D60%2C%20b%3D60)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fig9.add_hline(y%3D100%2C%20line_width%3D1.5%2C%20line_dash%3D%22dashdot%22%2C%20line_color%3D%22RoyalBlue%22)%0A%0A%20%20%20%20fig9%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(TED2007_normalized%2C%20px)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Select%20a%20subset%20of%20countries%20for%20plotting%0A%20%20%20%20countries2%20%3D%20%5B'JPN'%2C%20'CAN'%2C%20'USA'%2C%20'AUT'%20%2C%20'BEL'%20%2C%20'DNK'%20%2C%20'FRA'%20%2C%20'DEU'%2C%20'NLD'%2C%20'NOR'%2C%20'SWE'%2C%20'CHE'%2C%20'GBR'%5D%0A%20%20%20%20TED2007_subsample2%20%3D%20TED2007_normalized%5Bcountries2%5D%0A%20%20%20%20TED2007_subsample2.reset_index(inplace%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plotting%20the%20data%20using%20Plotly%0A%20%20%20%20fig10%20%3D%20px.line(TED2007_subsample2%2C%20x%3D'YEARS'%2C%20y%3Dcountries2%2C%20title%3D%22The%20impact%20of%20the%20financial%20crisis%20in%20the%20EZCore%2B%20(Real%20GDP)%22%2C%20color_discrete_sequence%3Dpx.colors.qualitative.Alphabet)%0A%20%20%20%20fig10.update_traces(mode%3D%22lines%2Bmarkers%22%2C%20hovertemplate%3DNone%2C%20line_width%20%3D%200.5%2C%20marker_size%20%3D%208)%0A%20%20%20%20fig10.update_layout(height%20%3D%20500%2C%20hovermode%3D%22x%22%2C%20xaxis_title%3D'Year'%2C%20yaxis_title%3D'GDP%20index%20(100%3D2007)'%2C%20legend_title%3DNone%2C%20xaxis_range%3D%5B2006.75%2C2021.25%5D%2C%20margin%3Ddict(l%3D60%2C%20r%3D60%2C%20t%3D60%2C%20b%3D60))%0A%20%20%20%20fig10.add_hline(y%3D100%2C%20line_width%3D1.5%2C%20line_dash%3D%22dashdot%22%2C%20line_color%3D%22RoyalBlue%22)%0A%20%20%20%20fig10%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(TED2007_normalized%2C%20px)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Select%20a%20subset%20of%20countries%20for%20plotting%0A%20%20%20%20countries3%20%3D%20%5B'JPN'%2C%20'KOR'%2C%20'TWN'%2C%20'AUS'%20%2C%20'NZL'%5D%0A%20%20%20%20TED2007_subsample3%20%3D%20TED2007_normalized%5Bcountries3%5D%0A%20%20%20%20TED2007_subsample3.reset_index(inplace%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plotting%20the%20data%20using%20Plotly%0A%20%20%20%20fig11%20%3D%20px.line(TED2007_subsample3%2C%20x%3D'YEARS'%2C%20y%3Dcountries3%2C%20title%3D%20%22The%20impact%20of%20the%20financial%20crisis%20in%20Asia%20and%20Australasia%20(Real%20GDP)%22%2C%20color_discrete_sequence%3Dpx.colors.qualitative.Alphabet)%0A%20%20%20%20fig11.update_traces(mode%3D%22lines%2Bmarkers%22%2C%20hovertemplate%3DNone%2C%20line_width%20%3D%200.5%2C%20marker_size%20%3D%208)%0A%20%20%20%20fig11.update_layout(height%20%3D%20500%2C%20hovermode%3D%22x%22%2C%20xaxis_title%3D'Year'%2C%20yaxis_title%3D'GDP%20index%20(100%3D2007)'%2C%20legend_title%3DNone%2C%20xaxis_range%3D%5B2006.75%2C2021.25%5D%2C%20margin%3Ddict(l%3D60%2C%20r%3D60%2C%20t%3D60%2C%20b%3D60))%0A%20%20%20%20fig11.add_hline(y%3D100%2C%20line_width%3D1.5%2C%20line_dash%3D%22dashdot%22%2C%20line_color%3D%22RoyalBlue%22)%0A%20%20%20%20fig11%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20**Answer**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20answer%0A%20%20%20%20From%20the%20three%20previous%20plots%2C%20we%20can%20put%20forward%20four%20main%20points%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20The%20EuroZone%20periphery%20was%20the%20group%20that%20suffered%20most%20from%20the%20financial%20crisis%20of%202007%3B%20in%20fact%2C%20there%20are%20countries%20in%20this%20group%20that%2C%2015%20years%20on%2C%20their%20GDP%20levels%20are%20still%20below%20those%20of%202007.%0A%0A%20%20%20%20-%20The%20EuroZone%20core%2C%20plus%20most%20other%20Western%20countries%20(like%20the%20US%2C%20Canada%2C%20Switzerland%2C%20and%20others)%2C%20took%20only%20seven%20years%20to%20recover%20their%202007%20GDP%20levels%3B%20this%20group%20did%20not%20suffer%20that%20much%20from%20this%20crisis.%0A%0A%20%20%20%20-%20The%20South%20East%20Asian%20countries%2C%20Australia%20and%20New%20Zealand%20were%20unaffected%20by%20this%20financial%20crisis.%20Japan%20is%20the%20exception%2C%20which%20may%20be%20explained%20by%20the%20fact%20that%20the%20Japanese%20economy%20is%20much%20more%20aligned%20with%20Western%20economies%20than%20with%20China%2C%20as%20the%20others%20are.%0A%0A%20%20%20%20-%20The%20case%20of%20Greece%20is%20a%20remarkable%20negative%20example%20of%20the%20functioning%20of%20the%20EU%20and%20the%20EuroZone.%20A%20democratic%20and%20open%20society%20at%20the%20heart%20of%20the%20EU%2C%20how%20can%20it%20lose%2025%25%20of%20its%202007%20GDP%20after%2015%20years%3F%20It%20seems%20that%20something%20is%20rotten%20in%20Europe.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%207.%20Inflation%20vs%20Interest%20Rates%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20In%20macroeconomics%2C%20one%20of%20the%20most%20important%20types%20of%20data%20is%20quarterly%20data.%20It%20presents%20the%20data%20relevant%20to%20analyzing%20short-term%20variations%20in%20economic%20activity.%20We%20collected%20data%20for%20three%20critical%20macroeconomic%20variables%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20The%20unemployment%20rate%3A%20UR%0A%20%20%20%202.%20The%20inflation%20rate%20as%20the%20percentage%20change%20of%20the%20Consumer%20Price%20Index%3A%20CPI%0A%20%20%20%203.%20The%20Fed%20Funds%20Rate%20as%20the%20interest%20rate%20set%20by%20the%20US%20central%20bank%20(called%20the%20Federal%20Reserve%20Board%20or%20simply%20**Fed**)%3A%20FFR%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%F0%9F%91%89%20a)%20The%20following%20figure%20plots%20the%20evolution%20of%20the%20rate%20of%20inflation%20(CPI)%20and%20the%20Federal%20Funds%20Rate%20(FFR).%20Can%20we%20obtain%20relevant%20information%20about%20the%20relationship%20between%20these%20two%20variables%20simply%20by%20looking%20at%20the%20two%20time%20series%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(preview%2C%20read_csv)%3A%0A%20%20%20%20DataUS%20%3D%20read_csv(%22DataUS.csv%22)%0A%20%20%20%20preview(DataUS)%0A%20%20%20%20return%20(DataUS%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(DataUS%2C%20px)%3A%0A%20%20%20%20fig12%20%3D%20px.line(x%3DDataUS.Quarters%2C%20y%3D%5BDataUS.CPI%20%2C%20DataUS.FFR%5D%2C%20title%3D%22Inflation%20rate%20(CPI)%20versus%20Fed%20Funds%20Rate%20(FFR)%3A%20USA%20(1960Q1-2024Q2)%22%2C%20color_discrete_sequence%3D%5B%22%231919c9%22%2C%20%22maroon%22%5D)%20%231919c9%20%230248ff%0A%20%20%20%20fig12.update_traces(mode%3D%22lines%22%2C%20hovertemplate%3DNone)%0A%20%20%20%20fig12.update_layout(height%20%3D%20500%2C%20hovermode%3D%22x%22%2C%20xaxis_title%3D%22Quarters%22%2C%20yaxis_title%3D%22Percentage%20points%22%2C%20title_x%3D0.5%2C%20margin%3Ddict(l%3D60%2C%20r%3D60%2C%20t%3D60%2C%20b%3D60)%2C%20legend_title%3DNone)%0A%20%20%20%20fig12.update_traces(%7B'name'%3A%20'CPI'%7D%2C%20selector%3D%7B'name'%3A%20'wide_variable_0'%7D)%0A%20%20%20%20fig12.update_traces(%7B'name'%3A%20'FFR'%7D%2C%20selector%3D%7B'name'%3A%20'wide_variable_1'%7D)%0A%20%20%20%20fig12%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20**Answer%20(a)**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20answer%0A%20%20%20%20Time%20series%20usually%20provide%20very%20crude%20information%2C%20and%20we%20have%20the%20same%20problem%20here.%20We%20can%20say%2C%20for%20example%2C%20that%20the%20FFR%20is%20generally%20greater%20than%20the%20CPI%2C%20suggesting%20that%20the%20real%20interest%20rate%20is%20usually%20positive%20(we%20will%20cover%20the%20concept%20of%20a%20%22real%20interest%20rate%22%20better%20next%20week).%20We%20can%20see%20also%20that%20the%20inflation%20rate%20can%20be%20negative%2C%20while%20the%20FFR%20has%20been%20bounded%20above%20zero%20in%20the%20USA.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%F0%9F%91%89%20b)%20The%20following%20figure%20presents%20a%20scatter%20plot%20(also%20known%20as%20a%20cross-plot)%20between%20the%20rate%20of%20inflation%20(CPI)%20and%20the%20Federal%20Funds%20Rate%20(FFR).%20Can%20we%20obtain%20relevant%20information%20about%20the%20relationship%20between%20these%20two%20variables%20by%20looking%20at%20the%20cross-plot%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(DataUS%2C%20px)%3A%0A%20%20%20%20fig13%20%3D%20px.line(DataUS%2C%20x%3D%22FFR%22%2C%20y%3D%22CPI%22%2C%20title%3D'Inflation%20vs%20Fed%20Funds%20Rate%20(USA%3A%201960Q1-2024Q2)')%0A%20%20%20%20fig13.update_traces(mode%3D%22markers%22%2C%20marker_color%20%3D%20%22blue%22)%0A%20%20%20%20fig13.update_layout(xaxis_title%3D%22Federal%20Funds%20Rate%22%2C%20yaxis_title%3D%22Inflation%20rate%22%2C%20width%20%3D%20600%2C%20height%20%3D%20600%2C%20margin%3Ddict(l%3D60%2C%20r%3D60%2C%20t%3D60%2C%20b%3D60)%2C%20yaxis_range%20%3D%20%5B-2%2C%2016%5D)%0A%20%20%20%20fig13.add_shape(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3D%22line%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x0%3D-1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y0%3D-1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x1%3D16%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y1%3D16%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23xref%3D'paper'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23yref%3D'paper'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22red%22%2C%20width%3D2.5%2C%20dash%3D%22dashdot%22))%0A%20%20%20%20fig13.add_annotation(x%3D16.5%2C%20y%3D15%2C%20font_size%20%3D16%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%2245%C2%BA%20line%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20yshift%3D10)%0A%20%20%20%20fig13%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20**Answer%20(b)**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20answer%0A%20%20%20%20The%20cross-plot%20above%20refines%20the%20two-time%20series%20and%2C%20for%20this%20reason%2C%20provides%20more%20useful%20information.%20In%20this%20case%2C%20we%20can%20easily%20see%20a%20clear%20positive%20relationship%20between%20those%20two%20macroeconomic%20variables.%20That%20is%2C%20on%20average%2C%20when%20the%20inflation%20rate%20increases%2C%20the%20FFR%20also%20goes%20up.%20Therefore%2C%20we%20get%20significant%20evidence%20that%20the%20Fed%20increases%20the%20FFR%20when%20inflation%20rises.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%208.%20Inflation%20vs%20Unemployment%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%F0%9F%91%89%20a)%20The%20following%20two%20figures%20plot%20the%20evolution%20of%20the%20rate%20of%20inflation%20(CPI)%20and%20the%20unemployment%20rate%20(UR).%20What%20kind%20of%20information%20can%20we%20get%20about%20the%20relationship%20between%20these%20two%20macroeconomic%20variables%20by%20inspecting%20these%20plots%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(DataUS%2C%20px)%3A%0A%20%20%20%20fig14%20%3D%20px.line(x%3DDataUS.Quarters%2C%20y%3D%5BDataUS.CPI%20%2C%20DataUS.UR%5D%2C%20title%3D%22Inflation%20rate%20(CPI)%20versus%20Fed%20Funds%20Rate%20(FFR)%3A%20USA%20(1960Q1-2024Q2)%22%2C%20color_discrete_sequence%3D%5B%22%231919c9%22%2C%20%22DarkRed%22%5D)%20%231919c9%20%230248ff%0A%20%20%20%20fig14.update_traces(mode%3D%22lines%22%2C%20hovertemplate%3DNone%2C%20line_width%20%3D%202)%0A%20%20%20%20fig14.update_layout(height%20%3D%20500%2C%20hovermode%3D%22x%22%2C%20xaxis_title%3D%22Quarters%22%2C%20yaxis_title%3D%22Percentage%20points%22%2C%20title_x%3D0.5%2C%20margin%3Ddict(l%3D60%2C%20r%3D60%2C%20t%3D60%2C%20b%3D60)%2C%20legend_title%3DNone)%0A%20%20%20%20fig14.update_traces(%7B'name'%3A%20'CPI'%7D%2C%20selector%3D%7B'name'%3A%20'wide_variable_0'%7D)%0A%20%20%20%20fig14.update_traces(%7B'name'%3A%20'UR'%7D%2C%20selector%3D%7B'name'%3A%20'wide_variable_1'%7D)%0A%20%20%20%20fig14%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(DataUS%2C%20px)%3A%0A%20%20%20%20fig15%20%3D%20px.line(DataUS%2C%20x%3D%22UR%22%2C%20y%3D%22CPI%22%2C%20title%3D'Inflation%20versus%20Unemployment%20(USA%3A%201960Q1-2024Q2)')%0A%20%20%20%20fig15.update_traces(mode%3D%22markers%2Blines%22%2C%20marker_color%20%3D%20%22blue%22%2C%20marker_size%20%3D%206.5%2C%20line_width%20%3D%200.5)%0A%20%20%20%20fig15.update_layout(xaxis_title%3D%22Unemployment%20rate%22%2C%20yaxis_title%3D%22Inflation%20rate%22%2C%20width%20%3D%20600%2C%20height%20%3D%20600%2C%20margin%3Ddict(l%3D60%2C%20r%3D60%2C%20t%3D60%2C%20b%3D60))%0A%0A%20%20%20%20fig15%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20tip%20%7C%20**Hint**%0A%0A%20%20%20%20The%20cross-correlation%20coefficient%20between%20these%20two%20variables%20equals%20%24%2B0.064%24%2C%20as%20we%20can%20check%20in%20the%20following%20cell.%20This%20coefficient%20ranges%20from%20%24-1%24%20to%20%24%2B1%24.%20Therefore%2C%20a%20value%20of%20%240.064%24%20indicates%20an%20insignificant%20correlation.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(DataUS%2C%20mo%2C%20sm)%3A%0A%20%20%20%20crosscorrel%3Dsm.tsa.stattools.ccf(DataUS.UR%2C%20DataUS.CPI%2C%20nlags%3D1)%0A%20%20%20%20mo.show_code(mo.md(f%22**Cross-correlation%20(zero%20lags)%3A**%20%7Bcrosscorrel%5B0%5D%3A.3f%7D%22))%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(DataUS%2C%20sm)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Demean%20the%20data%0A%20%20%20%20ur_demeaned%20%3D%20DataUS%5B'UR'%5D%20-%20DataUS%5B'UR'%5D.mean()%0A%20%20%20%20cpi_demeaned%20%3D%20DataUS%5B'CPI'%5D%20-%20DataUS%5B'CPI'%5D.mean()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Compute%20cross-correlation%20using%20statsmodels%0A%20%20%20%20cross_corr%20%3D%20sm.tsa.stattools.ccf(ur_demeaned%2C%20cpi_demeaned)%0A%0A%20%20%20%20%23%20The%20ccf%20function%20returns%20correlations%20for%20all%20lags%20%3E%3D%200%0A%20%20%20%20print(%22Cross-correlation%20(first%20lag)%3A%22%2C%20cross_corr%5B%3A23%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20**Suggested%20answer**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20answer%0A%20%20%20%20From%20the%20two%20previous%20plots%2C%20we%20can%20put%20forward%20two%20main%20points%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20It%20appears%20that%20there%20is%20little%20correlation%20between%20the%20rate%20of%20inflation%20and%20the%20rate%20of%20unemployment%2C%20considering%20the%20whole%20period.%20The%20correlation%20coefficient%20is%20close%20to%20zero%3A%20%240.064%24%2C%20confirming%20the%20lack%20of%20any%20significant%20correlation.%0A%0A%20%20%20%20-%20It%20is%20clear%20that%20large%20loops%20exist%20between%20these%20variables%2C%20suggesting%20that%20some%20other%20variables%20must%20influence%20these%20two%20variables%20asymmetrically.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%209.%20The%20Budget%20Balance%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20In%20the%20following%20plot%2C%20we%20present%20the%20evolution%20of%20another%20crucial%20macroeconomic%20variable%3A%20the%20public%20budget%20balance%20as%20a%20percentage%20of%20GDP.%20The%20evidence%20covers%20the%20US%20economy%20from%201929%20to%202023.%20This%20variable%20is%20very%20important%20because%20it%20provides%20some%20information%20about%20the%20sustainability%20of%20public%20finances%2C%20but%20also%20about%20the%20government's%20intervention%20in%20managing%20booms%20and%20recessions.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(preview%2C%20read_csv)%3A%0A%20%20%20%20Budget%20%3D%20read_csv(%22US_BudgetDeficits_1929_2023.csv%22)%0A%20%20%20%20preview(Budget)%0A%20%20%20%20return%20(Budget%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(Budget%2C%20px)%3A%0A%20%20%20%20fig16%20%3D%20px.bar(Budget%2C%20x%3D%22Years%22%2C%20y%3D%22Budg_to_GDP%22%2C%20title%3D'Federal%20Budget%20as%20a%20%25%20of%20GDP%20(USA%3A%201929-2023)'%2C%20color_discrete_sequence%3D%5B%22blue%22%2C%20%22red%22%5D%2C%20opacity%3D0.7)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Update%20layout%0A%20%20%20%20fig16.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%20%3D%20500%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_range%3D%5B%221928%22%2C%222024%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hovermode%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22Years%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22Percentage%20points%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title_x%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20margin%3Ddict(l%3D60%2C%20r%3D60%2C%20t%3D60%2C%20b%3D60)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20legend_title%3DNone%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Show%20the%20plot%0A%20%20%20%20fig16%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%F0%9F%91%89%20a)%20%20Based%20on%20the%20evidence%20displayed%20in%20the%20figure%20above%2C%20what%20is%20your%20opinion%20concerning%20the%20volatility%20(variability)%20of%20that%20macroeconomic%20variable%3F%20**_Hint.%20The%20standard%20deviation%20equals%204.72%25._**%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20**Answer%20(a)**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20answer%0A%20%20%20%20It%20is%20easy%20to%20see%20that%20the%20US%20public%20budget%20as%20a%20percentage%20of%20GDP%20is%20very%20volatile%20over%20time.%20Apart%20from%20the%201950s%20and%201960s%2C%20when%20its%20values%20were%20small%20and%20relatively%20stable%2C%20the%20situation%20was%20entirely%20different%20for%20the%20entire%20period.%20For%20the%20whole%20period%2C%20its%20standard%20deviation%20is%20close%20to%204.72%25%2C%20reflecting%20a%20large%20volatility%20for%20this%20variable%20type.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%F0%9F%91%89%20b)%20%20In%20a%20period%20that%20comprises%20almost%20100%20years%2C%20how%20often%20did%20the%20USA%20experience%20positive%20budget%20balances%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20**Answer%20(b)**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20answer%0A%20%20%20%20In%20a%20period%20of%2095%20years%20altogether%2C%20only%20in%2014%20years%20did%20the%20US%20economy%20end%20up%20with%20a%20positive%20budget%20balance%20as%20a%20percentage%20of%20GDP.%20Even%20in%20this%20case%2C%20the%20levels%20of%20those%20superhavits%20were%20tiny%20compared%20to%20the%20deficits.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%F0%9F%91%89%20c)%20%20You%20are%20starting%20to%20study%20macroeconomics.%20If%20you%20were%20asked%2C%20**_at%20this%20stage_**%2C%20what%20do%20you%20think%20is%20the%20level%20of%20public%20debt%20as%20a%20percentage%20of%20GDP%20in%20the%20US%20by%20now%2C%20given%20that%20the%20mean%20of%20the%20public%20budget%20has%20been%20equal%20to%20%24-3.3%5C%25%24%20of%20GDP%20since%201929%2C%20what%20would%20you%20answer%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20**Answer%20(c)**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20answer%0A%20%20%20%20A%20layman's%20answer%20will%20be%20something%20like%20this%3A%0A%0A%20%20%20%20_%22If%20a%20country%20runs%20public%20deficits%20every%20year%2C%20it%20means%20that%20such%20country%20is%20living%20beyond%20its%20means.%20Its%20public%20debt%20will%20grow%20without%20bound%2C%20and%20sooner%20or%20later%2C%20this%20country%20will%20face%20bankruptcy%22._%0A%0A%20%20%20%20**Note**.%20You%20will%20learn%20in%20week%2011%20that%20such%20a%20layman's%20view%20is%20wrong%20despite%20looking%20wise%20and%20common%20sense.%20It%20is%20for%20reasons%20like%20this%20one%20that%20learning%20a%20bit%20of%20macroeconomics%20is%20good%20for%20you._%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%2010.%20International%20Oil%20Prices%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Oil%20and%20gas%20are%20still%20the%20largest%20components%20of%20energy%20consumption.%20From%20an%20economic%20point%20of%20view%2C%20almost%20everything%20we%20do%20depends%20on%20burning%20some%20form%20of%20energy.%20As%20those%20two%20sources%20are%20still%20the%20predominant%20ones%20today%2C%20a%20significant%20change%20in%20their%20prices%20will%20dramatically%20affect%20production%20costs%20and%20inflation.%20The%20following%20figure%20presents%20evidence%20of%20the%20annual%20growth%20rates%20of%20international%20oil%20prices%20since%20the%201950s.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(preview%2C%20read_csv)%3A%0A%20%20%20%20oil%20%3D%20read_csv(%22Oil_prices.csv%22)%0A%20%20%20%20preview(oil)%0A%20%20%20%20return%20(oil%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(oil%2C%20px)%3A%0A%20%20%20%20fig20%20%3D%20px.line(x%3Doil.Quarters%2C%20y%3D%20oil.GrowthRate%2C%20title%3D%22Anual%20growth%20rates%20of%20international%20oil%20prices%22%2C%20color_discrete_sequence%3D%5B%22%231919c9%22%2C%20%22maroon%22%5D)%20%231919c9%20%230248ff%0A%20%20%20%20fig20.update_traces(mode%3D%22lines%22%2C%20hovertemplate%3DNone)%0A%20%20%20%20fig20.update_layout(height%20%3D%20500%2C%20hovermode%3D%22x%22%2C%20xaxis_title%3D%22Quarterly%20observations%22%2C%20yaxis_title%3D%22Percentage%20points%22%2C%20title_x%3D0.5%2C%20margin%3Ddict(l%3D60%2C%20r%3D60%2C%20t%3D60%2C%20b%3D60)%2C%20legend_title%3DNone)%0A%20%20%20%20fig20.add_vline(x%3D%221973-05-01%22%2C%20line_width%3D2%2C%20line_dash%3D%22dashdot%22%2C%20line_color%3D%22Maroon%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20annotations%0A%20%20%20%20fig20.add_annotation(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%221968-06-01%22%2C%20y%3D170%2C%20text%3D%22Yom%20Kippur%20war%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DFalse%2C%20yshift%3D10%2C%20font%3Ddict(size%3D16)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20fig20.update_layout(yaxis%20%3D%20dict(tickfont%20%3D%20dict(size%3D13)))%0A%20%20%20%20fig20.update_layout(xaxis%20%3D%20dict(tickfont%20%3D%20dict(size%3D13)))%0A%0A%20%20%20%20fig20%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%F0%9F%91%89%20**a)**%20How%20would%20you%20describe%20the%20evolution%20of%20international%20oil%20prices%20since%201973%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20**Answer%20(a)**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20answer%0A%20%20%20%20International%20oil%20prices%20were%20stable%20until%201973.%20After%20that%20year%2C%20they%20displayed%20an%20astonishing%20characteristic%3A%20their%20growth%20rate%20jumped%20up%20and%20down%20in%20a%20huge%20range%2C%20somewhere%20between%20%24%2B120%5C%25%24%20and%20%24-50%5C%25%24%20per%20year%2C%20in%20a%20systematic%20process%20year%20after%20year.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%F0%9F%91%89%20**b)**%20Economists%20call%20these%20jumps%20in%20oil%20prices%20%22temporary%20shocks%22%20that%20affect%20inflation.%20Why%20do%20you%20think%20these%20shocks%20are%20called%20temporary%20instead%20of%20permanent%20shocks%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20**Answer%20(b)**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20answer%0A%20%20%20%20They%20are%20called%20%22shocks%22%20because%20individual%20economies%20can%20not%20do%20anything%20to%20prevent%20them%3A%20they%20just%20hit%20the%20economy%2C%20and%20there%20is%20very%20little%20we%20can%20do%20about%20it%20in%20the%20short%20term.%0A%0A%20%20%20%20They%20are%20called%20%22temporary%22%20because%20the%20growth%20rates%20of%20oil%20prices%20may%20go%20up%20(and%20even%20a%20lot)%2C%20but%20soon%20they%20will%20go%20down%2C%20even%20in%20the%20short%20term.%20If%20the%20shock%20were%20permanent%2C%20oil%20prices%20would%20have%20to%20display%20a%20growth%20rate%20that%20had%20to%20remain%20relatively%20constant.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%2011.%20Rules%20vs%20Discretion%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20*From%20the%20texbook*%0A%0A%20%20%20%20%3E''Consider%20the%20difficult%20task%20of%20raising%20children.%20One%20of%20the%20most%20widely%20recognized%20challenges%20of%20this%20task%20is%20to%20properly%20balance%20rules%20and%20ad-hoc%20decisions.%20Constantly%20breaking%20rules%20might%20send%20the%20wrong%20message%20to%20a%20kid%2C%20while%20strictly%20enforcing%20rules%20every%20time%20might%20result%20in%20excessive%20punishments.%20The%20debate%20about%20the%20conduct%20of%20macroeconomic%20policy%20is%20not%20significantly%20different%20from%20this%20example.''%0A%0A%20%20%20%20%F0%9F%91%89%20**a)**%20Comment%20on%20the%20American%20Recovery%20and%20Reinvestment%20Act%202009%20(ARRA%202009).%20Can%20this%20Act%20be%20characterized%20as%20discretionary%20policy%3F%0A%0A%20%20%20%20%F0%9F%91%89%20**b)**%20Is%20it%20possible%20for%20this%20set%20of%20policies%20to%20affect%20the%20incentives%20of%20financial%20intermediaries%20or%20other%20major%20economic%20agents%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20warning%20%7C%20**ARRA%202009**%0A%0A%20%20%20%20%22The%20approximate%20cost%20of%20the%20ARRA%202009%20economic%20stimulus%20package%20was%20estimated%20to%20be%20%24787%20billion%20at%20the%20time%20of%20passage%2C%20later%20revised%20to%20%5C%24831%20billion%20between%202009%20and%202019%22%2C%20from%20%5BWikipedia%5D(https%3A%2F%2Fen.wikipedia.org%2Fwiki%2FAmerican_Recovery_and_Reinvestment_Act_of_2009).%0A%0A%20%20%20%20In%20fact%2C%20given%20that%20the%20level%20of%20Real%20GDP%20of%20the%20US%20in%202008%20was%20%5C%2415752.3%20billion%2C%20%5C%24831%20billion%20over%20ten%20years%20corresponds%20to%20less%20than%20a%200.5%25%20increase%20in%20public%20spending%20*per%20year*.%20Looking%20at%20these%20numbers%20and%20comparing%20them%20with%20what%20happened%20recently%20with%20the%20COVID-19%20relief%20plan%20(an%20increase%20of%206%20trillion%20dollars%20in%20two%20years)%2C%20the%20numbers%20of%20the%20ARRA%202009%20stimulus%20package%20look%20ridiculously%20irrelevant.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20**Answer%20suggested%20(a)**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20answer%0A%20%20%20%20Yes%2C%20the%20ARRA%202009%20can%20be%20considered%20as%20discretionary%20policy.%20While%20there%20is%20no%20well%20accepted%20rule%20to%20conduct%20fiscal%20policy%2C%20it%20is%20good%20common%20sense%20that%20when%20there%20is%20a%20recession%20like%20that%20in%202008%2F2010%2C%20the%20government%20should%20step%20in%20and%20boost%20public%20spending%20to%20counterbalance%20the%20dramatic%20reduction%20of%20private%20expenditure.%20So%2C%20from%20this%20point%20of%20view%2C%20the%20ARRA%20program%20is%20not%20a%20completely%20ad-hoc%20measure.%20Everybody%20was%20expecting%20it.%20It%20looks%20like%20an%20implicit%20wise%20and%20flexible%20rule%20for%20fiscal%20policy.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20**Answer%20suggested%20(b)**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20answer%0A%20%20%20%20The%20ARRA%202009%20did%20not%20represent%20an%20irresponsible%20increase%20in%20public%20spending%20of%20such%20a%20magnitude%20that%20it%20would%20undermine%20the%20confidence%20in%20the%20sustainability%20of%20US%20public%20debt.%20Therefore%2C%20one%20can%20not%20envision%20a%20way%20for%20such%20a%20program%20to%20have%20negatively%20affected%20financial%20intermediaries%20and%20other%20economic%20agents%3B%20precisely%2C%20the%20opposite.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%2012.%20Solving%20Exercise%203%20with%20Linear%20Algebra%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20To%20solve%20the%20model%20in%20Exercise%203%20using%20linear%20algebra%20%24-%24%20instead%20of%20using%20the%20Python%20library%20named%20as%20%60scipy.optimize%60%20%24-%24%20%20we%20have%20to%20know%20how%20to%20write%20the%20model%20in%20matrix%20form.%20See%20the%20next%20note%20for%20a%20step-by-step%20explanation%20of%20the%20solution%20that%20is%20given%20by%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cboldsymbol%7BQ%7D%3D%5Cunderbrace%7B%5Cleft(%5Cboldsymbol%7BA%7D%5E%7B-1%7D%20%5Ccdot%20%5Cboldsymbol%7BB%7D%5Cright)%7D_C%20%5Cboldsymbol%7BX%7D%20%5Ctag%7B1%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Then%2C%20we%20have%20to%20insert%20the%20numerical%20values%20of%20those%20matrices%20into%20the%20notebook.%20Finally%2C%20we%20must%20ask%20the%20computer%20to%20compute%20the%20solution%20according%20to%20equation%20(1).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20tip%20%7C%20**Solving%20a%20model%20with%20linear%20algebra**%0A%0A%20%20%20%20The%20steps%20are%20the%20usual%20ones%3A%20(i)%20write%20the%20model%20in%20a%20way%20that%20is%20easy%20to%20pass%20into%20matrices%2C%20(ii)%20apply%20the%20matrix%20operations%20that%20will%20solve%20the%20model.%0A%0A%20%20%20%20The%20model%20in%20the%20slides%20can%20be%20written%20down%20as%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20Q_%20b%20%26%3D2%20Q_%7Ba%7D%2B8%20X_%7B2%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20Q_%7Ba%7D%20%26%3D0.1%20Q_%7Bd%7D-0.5%20Q_%7Bc%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20Q_%7Bd%7D%20%26%3D0.5%20Q_%7Bc%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20Q_%7Bc%7D%20%26%3D1.5%20Q_%7Ba%7D%2B2.5%20Q_%7Bb%7D%2B5%20X_%7B1%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Solving%20the%20model%20above%20by%20substitution%20is%20quite%20an%20exasperating%20task.%20There%20is%20a%20much%20more%20accessible%20way%20to%20solve%20this%20model%3A%20use%20**linear%20algebra**.%20We%20can%20write%20the%20model%20as%20follows%20(we%20use%20decimal%20places%20to%20make%20visual%20inspection%20easier)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20-2.0Q_%7Ba%7D%20%2B%201.0Q_%7Bb%7D%20%2B%200.0%20Q_%7Bc%7D%20%2B%200.0%20Q_%7Bd%7D%20%26%20%3D%200.0%20X_%7B1%7D%2B8.0%20X_%7B2%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%201.0%20Q_%7Ba%7D%20%20%2B%20%200.0%20Q_%7Bb%7D%2B%200.5%20Q_%7Bc%7D-0.1%20Q_%7Bd%7D%20%26%20%3D%200.0%20X_%7B1%7D%2B0.0%20X_%7B2%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%200.0%20Q_%7Ba%7D%20%2B%20%200.0%20Q_%20b%20-%200.5%20Q_%7Bc%7D%2B1.0%20Q_%7Bd%7D%20%26%20%3D%200.0%20X_%7B1%7D%2B0.0%20X_%7B2%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20-1.5%20Q_%7Ba%7D%20-%202.5%20Q_%7Bb%7D%2B1.0%20Q_%7Bc%7D%2B0.0%20Q_%7Bd%7D%26%20%3D%205.0%20X_%7B1%7D%2B0.0%20X_%7B2%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%0A%0A%20%20%20%20Let%20us%20organize%20the%20equations%20above%20using%20matrices%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cunderbrace%7B%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D%0A%20%20%20%20-2.0%20%26%201.0%20%26%200.0%20%26%200.0%20%5C%5C%0A%20%20%20%201.0%20%26%200.0%20%26%200.5%20%26%20-0.1%20%5C%5C%0A%20%20%20%200.0%20%26%200.0%20%26%20-0.5%20%26%201.0%20%5C%5C%0A%20%20%20%20-1.5%20%26%20-2.5%20%26%201.0%20%26%200.0%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%7D_%7BA%7D%20%5Ccdot%20%5Cunderbrace%7B%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A%20%20%20%20Q_%7Ba%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20Q_%7Bb%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20Q_%7Bc%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20Q_%7Bd%7D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%7D_%7BQ%7D%20%3D%20%5C%20%5Cunderbrace%7B%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%0A%20%20%20%200.0%20%26%208.0%20%5C%5C%0A%20%20%20%200.0%20%26%200.0%20%5C%5C%0A%20%20%20%200.0%20%26%200.0%20%5C%5C%0A%20%20%20%205.0%20%26%200.0%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%7D_%7BB%7D%20%5Ccdot%20%5Cunderbrace%7B%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20X_%7B1%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20X_%7B2%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%7D_%7BX%7D%20%5Ctag%7B2%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20so%2C%20we%20can%20write%0A%0A%20%20%20%20%24%24A%20%5Ccdot%20Q%3DB%20%5Ccdot%20X%20%5Ctag%7B3%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20or%0A%0A%20%20%20%20%24%24Q%20%3D%20%5Cunderbrace%7B(A%5E%7B-1%7D%5Ccdot%20B%7D_%7BC%7D)%20%5C%20X%20%5Ctag%7B4%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24A%5E%7B-1%7D%24%20is%20called%20the%20inverse%20matrix%20of%20%24A%24%20(extremely%20easy%20to%20calculate%20using%20a%20computer).%0A%0A%20%20%20%20It%20is%20interesting%20that%20by%20using%20linear%20algebra%2C%20we%20can%20easily%20distinguish%20the%20elements%20of%20our%20model%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20%22%24Q%24%22%20is%20the%20output%20of%20the%20model%20(endogenous%20variables)%0A%0A%20%20%20%20-%20%22%24X%24%22%20is%20the%20input%20of%20the%20model%20(exogenous%20variables)%0A%0A%20%20%20%20-%20%22%24C%24%22%20is%20the%20structure%20of%20the%20model%20(parameters)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Matrices%20into%20the%20notebook%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20A%20%3D%20np.matrix(%5B%5B-2.0%20%2C%201.0%20%2C%200.0%20%2C%200.0%5D%20%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B1.0%20%2C%200.0%20%2C%200.5%20%2C%20-0.1%20%5D%20%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0.0%20%2C%200.0%20%2C-0.5%20%2C%201.0%5D%20%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B-1.5%20%2C%20-2.5%20%2C%201.0%20%2C%200.0%5D%5D)%0A%20%20%20%20mo.show_code(A)%0A%20%20%20%20return%20(A%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20B%20%3D%20np.matrix(%5B%5B0.0%20%2C%208.0%5D%20%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0.0%20%2C%200.0%5D%20%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0.0%20%2C%200.0%5D%20%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B5.0%20%2C%200.0%5D%5D)%0A%20%20%20%20mo.show_code(B)%0A%20%20%20%20return%20(B%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(A%2C%20linalg)%3A%0A%20%20%20%20print(%22inv(A)%20%3D%22%2C%20linalg.inv(A))%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(A%2C%20B%2C%20linalg%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20C%20%3D%20linalg.inv(A)*B%0A%20%20%20%20mo.show_code(C)%0A%20%20%20%20return%20(C%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(C%2C%20X%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20Q%20%3D%20C%20%40%20X%0A%20%20%20%20mo.show_code(Q)%0A%20%20%20%20return%20(Q%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20x1%2C%20x2)%3A%0A%20%20%20%20X%20%3D%20np.array(%5Bx1.value%2C%20x2.value%5D)%0A%20%20%20%20print(X)%0A%20%20%20%20return%20(X%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(Q)%3A%0A%20%20%20%20print(f%22Qa%20%3D%20%7BQ%5B0%2C0%5D%7D%20%2C%20Qb%20%3D%20%7BQ%5B0%2C1%5D%7D%20%2C%20Qc%20%3D%20%7BQ%5B0%2C2%5D%7D%20%2C%20Qd%20%3D%20%7BQ%5B0%2C3%5D%7D%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20x1%20%3D%20mo.ui.slider(0%2C%2020%2C%20step%3D2.5%2C%20value%20%3D%2010%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20x2%20%3D%20mo.ui.slider(0%2C%2010%2C%20step%3D1%2C%20value%20%3D%205%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24~~~~~~~~%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Choose%20the%20value%20of%20%24x_1%24%3A%24~~%24%20%7Bx1%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24~~~~~~~~~%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Choose%20the%20value%20of%20%24x_2%24%3A%24~~%24%20%7Bx2%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%20x1%2C%20x2%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Solution%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(Q%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20**Answer**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20answer%0A%0A%20%20%20%20Not%20surprisingly%2C%20the%20solution%20values%20are%20the%20same%20as%20those%20that%20we%20obtained%20in%20Exercise%203%3A%3Cbr%3E%0A%0A%20%20%20%20%24~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~%24%20%24Q_a%20%5C%5Capprox%20%7BQ%5B0%2C0%5D%3A.3f%7D%24%20%2C%0A%20%20%20%20%24Q_b%20%5C%5Capprox%20%7BQ%5B0%2C1%5D%3A.3f%7D%24%20%2C%0A%20%20%20%20%24Q_c%20%5C%5Capprox%20%7BQ%5B0%2C2%5D%3A.3f%7D%24%20%2C%0A%20%20%20%20%24Q_d%20%5C%5Capprox%20%7BQ%5B0%2C3%5D%3A.3f%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20What%20is%20interesting%20when%20we%20use%20linear%20algebra%2C%20instead%20of%20a%20package%20that%20does%20all%20the%20work%20for%20us%20as%20a%20%22black%20box%22%20(like%20%60scipy.optimize%60)%2C%20is%20that%20each%20matrix%20provides%20a%20clear%20view%20of%20the%20three%20main%20elements%20of%20any%20model%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20%22%24Q%24%22%20gives%20the%20output%20of%20the%20model%20(endogenous%20variables)%0A%0A%20%20%20%20-%20%22%24X%24%22%20gives%20the%20input%20of%20the%20model%20(exogenous%20variables)%0A%0A%20%20%20%20-%20%22%24C%24%22%20gives%20the%20structure%20of%20the%20model%20(parameters)%0A%0A%20%20%20%20Therefore%2C%20we%20should%20point%20out%20that%20using%20a%20package%20like%20%60scipy.optimize%60%20makes%20our%20lives%20easier%20(we%20can%20solve%20a%20model%20faster%20and%20with%20less%20trouble)%2C%20and%20using%20linear%20algebra%20makes%20our%20lives%20richer%20(we%20learn%20more).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Auxiliary%20cells%20(do%20not%20change%2Fremove%20the%20cells%20below)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20**Exercises**%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20These%20CSV%20files%20must%20be%20kept%20in%20the%20%3Ckbd%3Epublic%2F%3C%2Fkbd%3E%20folder%2C%20next%20to%20this%20notebook.%0A%0A%20%20%20%20-%20OECD%5C_Major%5C_Aggregates.csv%0A%20%20%20%20-%20DataUS.csv%0A%20%20%20%20-%20US%5C_BudgetDeficits%5C_1929%5C_2023.csv%0A%20%20%20%20-%20Hutchins-fiscal-impact.csv%0A%20%20%20%20-%20Spread.csv%0A%20%20%20%20-%20Oil_prices.csv%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(diags%2C%20mo%2C%20np%2C%20oecd%2C%20pd%2C%20preview%2C%20spsolve)%3A%0A%20%20%20%20%23from%20scipy.sparse%20import%20diags%0A%20%20%20%20%23from%20scipy.sparse.linalg%20import%20spsolve%0A%0A%20%20%20%20def%20hp_filter(log_mydata%2C%20lamb)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n%20%3D%20len(log_mydata)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20assert%20n%20%3E%3D%204%2C%20%22The%20length%20of%20the%20data%20must%20be%20at%20least%204.%22%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diag2%20%3D%20lamb%20*%20np.ones(n-2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diag1%20%3D%20np.concatenate((%5B%20-2%20*%20lamb%20%5D%2C%20%5B%20-4%20*%20lamb%20%5D%20*%20(n-3)%2C%20%5B%20-2%20*%20lamb%20%5D))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diag0%20%3D%20np.concatenate((%5B%201%20%2B%20lamb%20%5D%2C%20%5B%201%20%2B%205%20*%20lamb%20%5D%2C%20%5B%20(1%20%2B%206%20*%20lamb)%20%5D%20*%20(n-4)%2C%20%5B%201%20%2B%205%20*%20lamb%20%5D%2C%20%5B%201%20%2B%20lamb%20%5D))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20D%20%3D%20diags(%5Bdiag2%2C%20diag1%2C%20diag0%2C%20diag1%2C%20diag2%5D%2C%20%5B-2%2C%20-1%2C%200%2C%201%2C%202%5D%2C%20shape%3D(n%2C%20n)%2C%20format%3D'csc')%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20trend%20%3D%20spsolve(D%2C%20log_mydata)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20trend%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%0A%0A%20%20%20%20log_oecd%20%3D%20%20np.log(oecd)%0A%20%20%20%20log_mydata%3Dlog_oecd.drop('Years'%2C%20axis%3D1)%0A%20%20%20%20preview(log_mydata)%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%0A%0A%20%20%20%20hp_trend%20%3D%20np.zeros_like(log_mydata)%0A%20%20%20%20for%20n%20in%20range(log_mydata.shape%5B1%5D)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hp_trend%5B%3A%2C%20n%5D%20%3D%20hp_filter(log_mydata.iloc%5B%3A%2C%20n%5D.values%2C%207.0)%0A%0A%20%20%20%20hp_trend_df%20%3D%20pd.DataFrame(hp_trend%2C%20columns%3Dlog_mydata.columns)%0A%20%20%20%20preview(hp_trend_df)%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%23%0A%0A%20%20%20%20%23%20Compute%20the%20cycles%0A%20%20%20%20cycles%20%3D%20log_mydata.values%20-%20hp_trend%0A%20%20%20%20cycles_df%20%3D%20pd.DataFrame(cycles%2C%20columns%3Dlog_mydata%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.columns)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Display%20the%20result%0A%20%20%20%20preview(cycles_df)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(%22%3E%20_Supporting%20cells%20for%20Exercise%202%20(Unemployment%20and%20recessions)_%22)%0A%20%20%20%20return%20cycles_df%2C%20hp_trend_df%2C%20log_mydata%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20CSS%20code%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.Html(%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cstyle%3E%0A%20%20%20%20%20%20%2F*%20---%20Level-2%20headers%3A%20bigger%20instead%20of%20bold%2C%20custom%20color%20---%20*%2F%0A%20%20%20%20%20%20h2%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20font-size%3A%201.6em%3B%20%20%20%20%20%20%20%2F*%20bump%20size%20%E2%80%94%20tune%20to%20taste%2C%20e.g.%201.4%E2%80%931.8em%20*%2F%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20font-weight%3A%20500%3B%20%20%20%20%20%20%20%2F*%20medium%20weight%20instead%20of%20default%20bold%20(700)%20*%2F%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3A%20%234338CA%3B%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F*%20light-mode%20default%20*%2F%0A%20%20%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%40media%20(prefers-color-scheme%3A%20dark)%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20h2%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3A%20%236366F1%3B%20%20%20%20%20%2F*%20Snapshot.jl-style%20periwinkle%20blue%20for%20dark%20mode%20*%2F%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%3C%2Fstyle%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.Html(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cstyle%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.admonition.answer%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20background-color%3A%20%23eef6f1%3B%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F*%20discrete%20green-grey%20*%2F%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20border-left%3A%204px%20solid%20%230e6142%3B%20%20%20%20%20%2F*%20your%20fig5_2%20green%20%20%20*%2F%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20border-radius%3A%206px%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20padding%3A%200.6rem%201rem%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.admonition.answer%20.admonition-title%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3A%20%230e6142%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%40media%20(prefers-color-scheme%3A%20dark)%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.admonition.answer%20%7B%20background-color%3A%20%23182c25%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.admonition.answer%20.admonition-title%20%7B%20color%3A%20%237fc8a4%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fstyle%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Global%20CSS%20for%20kbd%20elements%20throughout%20the%20notebook%0A%20%20%20%20mo.Html(%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cstyle%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kbd%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20background-color%3A%20%23505050%20!important%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3A%20%23fff%20!important%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20padding%3A%203px%206px%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20border-radius%3A%204px%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20font-family%3A%20monospace%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20font-size%3A%200.9em%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20border%3A%201px%20solid%20%23666%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fstyle%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20**Functions%20used%20in%20this%20notebook**%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20pd)%3A%0A%20%20%20%20from%20pathlib%20import%20Path%0A%0A%20%20%20%20PUBLIC%20%3D%20mo.notebook_location()%20%2F%20%22public%22%20%23%20required%20for%20Wasm%20compilation%20(data%20sources)%0A%0A%20%20%20%20def%20read_csv(name%2C%20**kwargs)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20pd.read_csv(PUBLIC%20%2F%20name%2C%20**kwargs)%0A%0A%0A%20%20%20%20return%20(read_csv%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(pd)%3A%0A%20%20%20%20def%20preview(df%2C%20n%3D5)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20len(df)%20%3C%3D%20n%20%2B%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20df%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ellipsis%20%3D%20pd.DataFrame(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%5B%22...%22%5D%20*%20df.shape%5B1%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20columns%3Ddf.columns%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20index%3D%5B%22%E2%80%A6%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20pd.concat(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20df.head(n)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ellipsis%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20df.tail(1)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D)%0A%0A%20%20%20%20return%20(preview%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20def%20crosscorr_manual(x%2C%20y%2C%20maxlag)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Cross-correlation%20function%20computed%20from%20first%20principles.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Matches%20StatsBase.jl%20crosscor%20definition.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%20%3D%20np.asarray(x)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%20%3D%20np.asarray(y)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20remove%20means%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%20%3D%20x%20-%20x.mean()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%20%3D%20y%20-%20y.mean()%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lags%20%3D%20np.arange(-maxlag%2C%20maxlag%20%2B%201)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20corr%20%3D%20np.empty(len(lags))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i%2C%20k%20in%20enumerate(lags)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20k%20%3C%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xs%20%3D%20x%5B-k%3A%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ys%20%3D%20y%5B%3Alen(y)%20%2B%20k%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20k%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xs%20%3D%20x%5B%3A-k%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ys%20%3D%20y%5Bk%3A%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xs%20%3D%20x%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ys%20%3D%20y%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20corr%5Bi%5D%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.dot(xs%2C%20ys)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20np.sqrt(np.dot(xs%2C%20xs)%20*%20np.dot(ys%2C%20ys))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20lags%2C%20corr%0A%0A%20%20%20%20return%20(crosscorr_manual%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(crosscorr_manual%2C%20oecd)%3A%0A%20%20%20%20lags%2C%20corr%20%3D%20crosscorr_manual(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20oecd%5B%22JPN%22%5D.to_numpy()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20oecd%5B%22CAN%22%5D.to_numpy()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20maxlag%3D40%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20corr%2C%20lags%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(corr%2C%20lags%2C%20px)%3A%0A%20%20%20%20fig1z%20%3D%20px.line(x%3Dlags%2C%20y%3Dcorr)%0A%20%20%20%20fig1z.update_traces(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%2Bmarkers%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line_width%20%3D%200.3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20marker_size%20%3D%207%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hovertemplate%3DNone%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fig1z.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D'Cross-correlation%20between%20inflation%20in%20the%20EuroZone%20and%20Portugal'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D'Lags'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D'Correlation'%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20margin%3Ddict(l%3D70%2C%20r%3D60%2C%20t%3D70%2C%20b%3D60)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fig1z%3B%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A